Introducción a la probabilidad aplicada

1. Técnicas de conteo Son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. E stas técnicas son varias, pero las más importantes se dividen en dos principios básicos, que son el multiplicativo y el aditivo; las permutaciones y las combinaciones. Por ejemplo, es muy sencillo la solución a este problema: imagínate que tu jefe te pide que cuentes los últimos productos que han llegado en la última hora. En este caso podrías ir y contar uno a uno los productos. Sin embargo, imagina que el problema es este: tu jefe te pide que cuentes cuántos grupos de 5 productos del mismo tipo pueden formarse con los que han llegado la última hora. En este caso, el cálculo se complica. Para este tipo de situaciones se utilizan las llamadas técnicas de conteo.  1.2 Principio aditivo El  principio aditivo  es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una acti...

  2. Teoría  elemental de la probabilidad El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay más de uno posible. Son ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar un dado cinco veces, los instantes de llegadas a un abarrote, etc. El término de probabilidad es de uso común, así el ente televisivo, el cual nos dirá que es poco probable un cambio brusco de temperatura ó un periódico informará que es muy probable que el Real Madrid gane en su campo a Las Palmas. Este tipo de información es insuficiente cuando se necesita un conocimiento más profundo de un fenómeno aleatorio, Supongamos que una compañía de seguros va a extender una póliza por seguro de vida a un cliente. Este es el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir probabilidades relacionadas con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir signific...

3. Probabilidad de eventos 3.1 Definición de espacio muestral El espacio muestral es una parte del espacio probabilístico. Como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra. Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra. Definición de evento: subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. Simbología con ejemplos: El espacio muestral se denota con la letra griega  Ω  (Omega) . Ejemplo: supongamos el caso de un dado con 6 caras. Enumeradas del 1 al 6 ¿Cuál sería el espacio muestral del experimento lanzar un dado una sola vez? R:  Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3.2 Unión: La unión de sucesos es una operación cuyo resultado está compuesto por todos los sucesos elementales no  repetidos que dos o más conjuntos tienen en común y no en común. Ejemplo y f órmula : 3.3 Intersección: La intersección de suces...

4. Probabilidad con técnicas de conteo 4.1 Axiomas Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933. Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.  La letra  P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo  P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.    AXIOMA 1  Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:  0 ≤ P(A) ≤ 1 Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de  n éxitos en  n experimentos, la probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1. AXIOMA 2  Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obte...

5. Probabilidad condicional 5.1 Dependiente A menudo, la ocurrencia de un suceso condiciona o influye en la ocurrencia de otro suceso. Si el suceso A condiciona al suceso B, diremos que: "B está condicionado por A o que B depende de A" Esta influencia modifica la probabilidad de que ocurra B y tenemos que definir una nueva fórmula para la probabilidad de B: probabilidad condicionada. Ejemplo: De una urna opaca que contiene 12 bolas blancas y 8 bolas verdes, extraemos consecutivamente y sin devolución 2 bolas P (2ª bola sea verde | 1ª bola ha sido blanca) =  en lugar de  -> ya que el hecho de que no haya devolución cambia las condiciones al extraer la 2ª bola ( sólo quedan 19 bolas, de las cuáles 8 son verdes. Análogamente: P (2ª bola sea verde | 1ª bola ha sido verde) =  en lugar de  -> sólo quedan 7 bolas verdes de 19 posibles, ya que ya sabemos que la 1ª bola ha sido verde (quedan 7 bolas verdes en lugar de 8) y no se ha devuelto a la urna (quedan 1...

6. Ley multiplicativa Esta regla concierne a la probabilidad de dos eventos sucediendo al mismo tiempo. Si los eventos son independientes –i.e. no ejercen influencias entre si – entonces la probabilidad de que sucedan los dos es igual al producto de sus respectivas probabilidades. CASO A INDEPENDIENTE Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s). Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos es un evento independiente. P(A y B) = P(A) * P(B) Ejemplo: Ejemplo 1: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo),  a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabili...

7. Eventos independientes 7.1 Teorema de Bayes El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de un suceso, teniendo información de antemano sobre ese suceso. Fórmula: Ejemplo:    Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30% , y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones: P(A) = 0,40      P(D/A) = 0,02 P(B) = 0,30      P(D/B) = 0,03 P(C) = 0,30      P(D/C) = 0,05 1.Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Se calcula la ...